INECUACIONES CUADRÁTICAS CON DOS VARIABLES

                   INECUACIONES CUADRÁTICAS CON DOS VARIABLES

Una inecuación con dos incógnitas, x e y, es una desigualdad que puede reducirse, por transposición de términos, a uno de estos tipos:

A(x,y) ³ 0 ó A(x,y) > 0

A(x,y) representa una expresión algebraica en las variables x e y (dicho de otro modo, una "función" de las dos variables x e y).

Diremos que el par de números (a,b) es una solución particular de la inecuación A(x,y) > 0, si al sustituir x por a, e y por b, se cumple la desigualdad o sea, si A(a,b)> 0. El conjunto de todas las soluciones de la inecuación se llama conjunto solución o solución general de la misma.

(Se tiene una definición análoga con la inecuación A(x,y) ³ 0).

Ejemplo:

Considera la inecuación 2x+y>5, y los pares de valores (a,b)=(-4,1) y (c,d)=(5,6).

(-4,1) no es solución de la inecuación, pues 2*(-4)+1=-7 no da un resultado mayor que 5.

(5,6) sí es solución de la inecuación, pues 2*5+6=16 es un resultado mayor que 5.

                                                           

                    Sistemas de ecuaciones cuadráticas

Se llama sistema de ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, a todo aquel en el que aparece al menos una ecuación de orden 2. Los sistemas de ecuaciones de segundo grado son de tipo no lineal, y para su resolución se usan los procedimientos aplicados en los sistemas de primer grado o lineales (ver t6). Considerando que el sistema estuviera formado por dos ecuaciones:

• Por igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los resultados. En la ecuación resultante (que puede ser de segundo grado, bicuadrada o irracional), se obtienen las raíces de la segunda incógnita, que se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar las soluciones de la otra incógnita.
• Por sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Se resuelve entonces la ecuación resultante (cuadrática, bicuadrada o irracional) y se calculan las raíces.
• Por reducción, se multiplican las ecuaciones por coeficientes o por las variables hasta conseguir que la suma (o resta) de las dos ecuaciones equivalentes que resultan permita anular una de las incógnitas. Se resuelve después la ecuación (cuadrática, bicuadrada o irracional) resultante, y se calculan las raíces.

Como es frecuente que, en alguno de los pasos de la resolución, se haya tenido que elevar al cuadrado alguna de las incógnitas, se habrán introducido así soluciones «falsas ». Es imprescindible comprobar todas y cada una de las parejas de raíces o soluciones obtenidas para las incógnitas en las ecuaciones originales del sistema. Siempre habrá que desechar alguno de estos pares, si no cumple la igualdad.

                                      Resolución por métodos gráficos

Los sistemas de ecuaciones de segundo grado pueden resolverse también por métodos gráficos. Para ello, ha de tenerse en cuenta que:

• Las ecuaciones de primer grado (lineales) se representan mediante rectas.
• Las ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) son representativas de curvas cónicas, ya sean circunferencias,elipses, parábolas o hipérbolas.

Al representar gráficamente las ecuaciones en un plano, pueden darse varios casos:

• Si las dos cónicas, o una cónica y una recta, del sistema se cortan en uno o dos puntos, el sistema es compatible determinado.
• Cuando se obtienen dos cónicas coincidentes, el sistema es compatible indeterminado.
• Si las dos cónicas, o la cónica y la recta, no se cortan en ningún punto del plano, el sistema es incompatible (carece de solución).