PROGRAMACIÓN LINEAL. OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN SUJETA A RESTRICCIONES

Problemas de optimización de una función sujeta a restricciones En un problema de programación lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer máxima o mínima, seg´un los casos) una función (llamada función objetivo) de la forma).
La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
               Función objetivo
La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:
               Restricciones
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

	a1x + b1y ≤ c1
	a2x + b2y ≤c2
	...    ...    ...
	anx + bny ≤cn

                                        
Funciones de Optimización Todas las funciones de la caja de herramientas son (m-files) de MATLAB, haciendo de MATLAB un instrumento especializado en algoritmos de optimización. Se puede ver de MATLAB los códigos de las funciones usando la presentación 

[1]: type function_name Se puede extender la capacidad de optimización de la caja de herramientas escribiendo sus propios m-files, o usando la caja de herramienta con otras cajas de herramientas, o con MATLAB o Simulink®. Caja de Herramienta de Optimización GUI La herramienta de optimización (optimtool), es un GUI (Grafics Unit Interface), para seleccionar la solución, especificando las opciones de optimización y los problemas corrientes. Se puede definir y modificar los problemas rápidamente con GUI [1]. Usando Funciones de Optimización Aquí se describirá como se deberá realizar la utilización de cada una de estas funciones de optimización: 

                              Método Algebraico

El siguiente resultado, denominado teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer otro método de solucionar un programa con dos variables.

La evaluación dela función objetivo en los vértices de la región factible nos va a permitir encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos.
1) Hallar los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones:
Calculamos las soluciones de cada uno de los seis sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden formar con las cuatro restricciones:
|{ 4x + 5y = 40 , 2x + 5y= 30}. Solución A(5,4) |{ 4x + 5y = 40 , x = 0 } Solución (0,8) |
|{ 4x + 5y = 40 , y = 0}. Solución: C(10,0) |{ 2x + 5y = 30 , x = 0} Solución: D(0,6)|
|{ 2x + 5y = 30 , y = 0}. Solución : E(15,0) |{ x = 0, y = 0} Solución: O(0,0) |

2) Determinar los vértices de la región factible:
Los vértices de la región factible son aquellos puntos que cumplen todas las restricciones.
Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que:
• B no cumple la segunda restricción 2x + 5y [pic]30 , ya que 2·0 + 5·8 = 40 . Por tanto, el punto B no es un vértice de la región factible.
• E no cumple la primera restricción 4x + 5y [pic]40 , ya que 4·15 + 5·0 = 60 . Por tanto, el punto E no es un vértice de la región factible.
Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades, son los vértices de la región factible.
3) Calcular los valores de la función objetivo en los vértices:
|f(A) = f(5,4) = 3·5 + 8·4 = 47 |f(C) = f(10,0) = 3·10 + 8· 0 = 30 |
|f(D) = f(0,6) = 3·0 + 8·6 = 48 |f(O) = f(0,0) = 3·0 + 8·0 = 0 |