PROBLEMAS DE LAS DIETAS

                              Hablemos de matemática

Un problema de programación lineal es un problema de optimización donde: Se pretende maximizar o minimizar (Mínimo costo o máximo beneficio por ejemplo.).

• A la expresión matemática de nuestro problema le llamaremos función objetivo. ( función costo o función rentabilidad por ejemplo ).
• A nuestros parámetros les llamaremos restricciones.( no mas de , solo una vez , no superior a ,por ejemplo . ). Cada una de las restricciones será una ecuación lineal o una desigualdad lineal en las variables de decisión.
• Llamaremos Región Factible a un área donde todas las líneas constituidas por las restricciones crean una figura que las cumple y hallaremos una respuesta posible en cada intersección de ellas determinando la mínima o máxima.

A este punto es difícil entender que es el simplex y como funciona .Pero veamos el primer problema de la dieta planteado por el matemático Stigler:

"El problema de la dieta" de Stigler

Objetivo:

Encontrar la combinación de alimentos de costo mínimo que permita satisfacer nueve requerimientos nutricionales básicos de una persona de peso promedio.

Motivación:

Reducir costos en el abastecimiento de tropas.

Modelación matemática

Función objetivo :

min. x1 + x2 ( Buscar el mínimo costo al combinar cantidades x de alimento por su costo unitario)

Restricciones :

2x1 + x2 = 3 ( Requerimiento mínimo de proteína )

x1 + 2x2 = 3 ( Requerimiento mínimo de carbohidratos )

x1 = 0 ( cantidad mínima de papas en la dieta )

x2 = 0 (Cantidad mínima de fréjoles en la dieta )

En su intento por resolverlo, Stigler obtiene una de las primeras formulaciones de programación lineal : con 77 variables y 9 restricciones. Encuentra una solución por métodos heurísticos: $39.93 en 1939.

Algunos años después Laderman en 1947 usó el simplex para encontrar la solución óptima siendo el primer cálculo a gran escala que preciso de 120 días-hombre empleando 10 calculadores de escritorio manuales con $39.69 sólo 24 ctvs. más barato que Stigler.

Claro el avance de la computación hace de estas experiencias simplemente anecdóticas. Pero la idea básica es la misma .Ahora veamos un ejemplo donde la programación lineal cobra importancia .

Un ejemplo :

Alimento Balanceado Para Pollos (1- 21 días) a su Mínimo Costo

El Crecimiento De Los Pollos Depende De Una Sólida Alimentación Que Cumpla Los Requerimientos Nutritivos De Los Mismos .Este ejemplo desarrolla un balanceo simple de dos alimentos con restricciones de energía , proteína y metionina..

Tomemos en cuenta que el método de cuadrado persona no puede dar una solución con más de un requerimiento y tampoco asegura una respuesta mínima en función al costo.

El cuadro 1 muestra las exigencias nutricionales mínimas de pollos de cría (1 a 21 días ) .

Para producir la ración balanceada se usara maíz y soya .El cuadro 2 muestra la composición nutritiva de estos dos insumos .Y el cuadro 3 presenta el precio por Kg. . de cada uno .

Ahora modelemos el problema diciendo que : x,y son Kg. . de alimento , el cual claro debe ser mayor igual a 0 (Puede ser que solo uno de ellos cumpla los requerimientos que buscamos ).

Problema de la dieta en animales

El problema de la dieta fue uno de los primeros sobre optimización. George Joseph Stigler planteó, a finales de la década de los años 30, el problema de régimen alimenticio óptimal para tratar de satisfacer la preocupación del ejército americano por hallar la manera más económica de alimentar a sus tropas asegurando al mismo tiempo unos determinados requerimientos nutricionales.

Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar los gastos de la compra, dieta para el ganado, una dieta adelgazante que cumpla unos determinados niveles de calorías, proteínas, hidratos de carbono, ...

Ejemplo

Se propone alimentar el ganado de una granja con la dieta más económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes identificados como A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos viene dada en la tabla siguiente:

	A	B	C	D
M	100	-	100	200
N	-	100	200	100

La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del componente D. El compuesto M cuesta 0.2€/Kg y el compuesto N 0.08€/Kg. ¿Qué cantidades de piensos M y N se deben adquirir para que el gasto en comida sea el menor posible?

Se pretende mezclar los tipos de pienso para obtener una dieta equilibrada que contenga las cantidades diarias recomendadas de cada nutriente para los animales.

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso:

• X1: cantidad de pienso M en Kg
• X2: cantidad de pienso N en Kg

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la composición requerida para la dieta diaria (en Kg):

• Componente A: 0.1·X1 + 0·X2 ≥ 0.4
• Componente B: 0·X1 + 0.1·X2 ≥ 0.6
• Componente C: 0.1·X1 + 0.2·X2 ≥ 2
• Componente D: 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7

Expresar todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso, la única restricción es que las cantidades de pienso que forman la dieta no pueden ser negativas:

• X1 ≥ 0
• X2 ≥ 0

Determinar la función objetivo:

• Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.08·X2