PROBLEMAS DE MEZCLAS

Los problemas de mezclas son excelentes candidatos para ser resueltos como sistemas de ecuaciones. Estos problemas se dan en muchas situaciones, como cuando se combinan soluciones en un laboratorio de química o cuando se añaden ingredientes a una receta. Las mezclas (y problemas de mezclas) se forman cuando diferentes tipos de elementos se combinan para crear un tercer objeto "mezclado".

Aprender a pensar en las mezclas como un tipo de tasa es un paso importante cuando aprendemos a resolver este tipo de problemas. En cualquier situación en la que dos o más variables diferentes son combinadas para determinar una tercera hablamos de un tipo de tasa. La velocidad y el tiempo combinados nos dan la distancia. Salarios y horas trabajadas producen ganancias.

De manera similar, jugo de limón, azúcar y agua mezcladas, forman limonada. La acidez de la bebida dependerá de la proporción entre las cantidades que forman la mezcla. Eso es una relación de proporción. Un problema de mezcla de limonada nos podría preguntar cómo cambia la acidez cuando se añade agua pura o cuando diferentes mezclas de limonada son combinadas. 

La manera de resolver la mayoría de los problemas de mezclas es tratarlos como problemas de tasas: identificar las variables, crear ecuaciones, y generar tablas para organizar la información y resaltar formas de resolver el problema.

Mezclas Secas

Trabajemos con algunos problemas de mezclas: esto nos mostrará cómo pueden ser tratados como tasas. Empezaremos con una mezcla que contiene dos tipos de elementos con diferentes precios por unidad.

¿Cuántas libras de nueces de Castilla que cuestan $0.80 por libra deben mezclarse con 8 libras de nueces de la India que cuestan $1.25 por libra para crear una mezcla que cueste $1.00 por libra?

El primer paso aquí es determinar el contexto del problema y luego identificar la fórmula apropiada que relaciona toda la información. Tenemos dos tipos de nueces con diferentes precios por libra que son combinadas en una mezcla. El precio por libra de la mezcla está determinado por el radio de las dos nueces. Aquí, nuestro contexto es el costo total: queremos una mezcla que cueste $1.00/libra. Podemos relacionar lo que conocemos y lo que queremos averiguar sobre el costo total usando la ecuación "costo total = precio • cantidad".

Crearemos una tabla para llevar la relación de los costos de las diferentes nueces y de la mezcla:

	Costo total($)	=	Precio ($/lb)	•	Cantidad (lbs)
Nueces de Castilla		=	0.80	•
Nueces de la India		=	1.25	•	8
Mezcla Total		=	1.00	•

Aplicaciones de la Programación Lineal

Problema de Inversión: Considere que usted dispone de un capital de 21.000 dólares para invertir en la bolsa de valores. Un amigo le recomienda 2 acciones que en el último tiempo han estado al alza: Acción A y Acción B. La Acción A tiene una rentabilidad del 10% anual y la Acción B del 8% anual. Su amigo le aconseja tener una cartera equilibrada y diversa y por tanto le recomienda invertir un máximo de 13.000 dólares en la Acción A y como mínimo 6.000 dólares en la Acción B. Además la inversión en la Acción A debe ser menor o igual que el doble de la inversión destinada a la Acción B. Usted quiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita obtener la política de inversión que permita obtener la máxima rentabilidad (interés) anual.

Variables de Decisión: 
x = dólares invertidos en Acción A.
y = dólares invertidos en Acción B.

Función Objetivo: Se busca maximizar la rentabilidad anual que resulta de invertir en los 2 tipos de acciones.
Maximizar   0.1x  +  0.08y

Restricciones: Considera las recomendaciones de su amigo.

x  +   y   ≤  21.000	Se puede invertir como máximo 21.000 dólares en total
x             ≤  13.000	Invertir como máximo 13.000 dólares en Acción A
y   ≥   6.000	Invertir como mínimo 6.000 dólares en Acción B
x   -  2y   ≤  0	Inversión en A debe ser menor o igual que el doble de la inversión en B
x≥0, y≥0	No Negatividad

Solución Óptima: X = 13.000 Y = 8.000. Valor Óptimo V(P) = 1.940 dólares. Se recomienda verificar estos resultados a través de la resolución gráfica y/o utilizando Solver de Excel.

Problema de Proceso Productivo: Una empresa produce tres tipos de muebles (A, B y C), cada uno de los cuales se vende a $200, $150 y $120 respectivamente. Para la producción de estos muebles la empresa cuenta con 315 horas disponibles en un taller de corte de madera, 110 horas disponibles en un taller de lijado y 50 horas en un taller de pintado. Se ha estimado que el mueble A requiere por unidad 15 horas de trabajo en el taller de corte, 2 horas en el taller de lijado y 1 hora en el taller de pintado (estos mismos valores para los muebles B y C son 7,5:3:1 y 5:2:1, respectivamente). Se requiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita encontrar la cantidad a elaborar y vender de estos muebles de modo que la empresa obtenga el mayor beneficio.

Variables de Decisión: 
X = Unidades a elaborar y vender del mueble A.
Y = Unidades a elaborar y vender del mueble B.
Z = Unidades a elaborar y vender del mueble C.

De esta forma el modelo de optimización que permite encontrar el plan óptimo de producción es el siguiente:

Este es el modelo utilizado para ejemplificar el uso de Solver de Excel en donde se pueden encontrar los resultados.

Problema de Mezcla de Productos: Se dispone de 2 ingredientes para fabricar caramelos, cuyo sabor variará dependiendo de la proporción en que intervengan cada uno de los ingredientes. El primer ingrediente se compra a $10 por kg. y el segundo a $20 por kg. El proceso de elaboración supone un costo de $5 por kg. fabricado, cuya cantidad total corresponde simplemente a la suma de los kg. empleados en la mezcla. La demanda máxima para un mes se cifra en 100 kg y el precio de venta $50 kg. A la empresa no le interesa producir más de los que puede vender en el mes. Por último, la composición de la masa debe contener una proporción que no supere el 50% del primer ingrediente y el 80% del segundo ingrediente. Se requiere determinar cuántos kg. de caramelos se tiene que fabricar al mes y las proporciones en las que deben ser utilizados los ingredientes para obtener un máximo beneficio.

Variables de Decisión:
X1: Kg a usar del ingrediente 1 en un mes  
X2: Kg a usar del ingrediente 2 en un mes

Función Objetivo: Obtener la máxima utilidad de la venta de los caramelos descontando los costos de producción
Maximizar 50*(X1 + X2) – 10*X1 – 20*X2 - 5*(X1 + X2) = 35*X1 + 25*X2   

Restricciones: 
Demanda Máxima:     X1 + X2 <= 100
Composición:             X1/(X1 + X2) <= 50%    o     0,5*X1 – 0,5*X2 <= 0
Composición:             X2/(X1 + X2) <= 80%    o     -0,8*X1 + 0,2*X2 <= 0
No Negatividad:        X1,X2>=0

Solución Óptima: X1 = 50 X2 = 50. Valor Óptimo V(P) = $3.000.