FUNCIÓN CUADRATICA

 Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

con .¹

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

                            

Características de una función cuadrática

Al analizar una función cuadrática cuales quiera debes tener en cuenta la influencia de los parámetros en la gráfica y en algunas de sus propiedades.

Por ejemplo en una una función cuadrática definida por una ecuación de la forma 

• El dominio de definición es el conjunto de los números reales, aunque en ocasiones se indica una restricción de este, es necesaria la restricción atendiendo a la problemática que se modela.
• El conjunto imagen, la abertura y la existencia de máximo o mínimo dependen de la ordenada del vértice y de la condición que cumple el parámetro a.
  Si  la parábola abre hacia arriba, el conjunto imagen esy tiene como valor mínimo la ordenada del vértice  .
  Si la parábola abre hacia abajo el conjunto imagen es y tiene como valor máximo la ordenada del vértice  .

• Las coordenadas del vértice son , donde .

• Esta curva es simétrica y el eje de simetría esque es una recta paralela al eje de las ordenadas.

• La función es par si se cumple que .
• La monotonía de la función cuadrática depende de la abscisa del vértice y de la condición que cumple el parámetro a.
  Si , la función es creciente para  y decreciente para 
  Si , la función es creciente para  y decreciente para 
• Los ceros de la función son los valores del dominio para los cuales se cumple . Gráficamente los ceros de la función son los puntos de corte de la parábola con el eje de las abscisas.

• Ejemplo de función cuadrática

  De la parábola que aparece a continuación, identifica: Su conjunto dominio El conjunto imagen Ceros de la función Investiga si la función es par Escribe un intervalo donde la función sea creciente y negativa.

  SOLUCIÓN

  • La variable independiente puede tomar cualquier valor real por lo que su conjunto dominio es

  • Las coordenadas del vértice son(-1,5;-0,25) por lo que el valor minimizo es -0,25 esto significa que el conjunto imagen son todos reales , tales que 

  • Para hallar los ceros observamos los puntos de corte de la parábola con el eje de las abscisas. Por lo que los ceros son x=-2 y x=-1

  • Para determinar analíticamente si la función es par se debe evaluar la función para un valor del dominio y su opuesto y comprobar que sus imágenes son iguales.
    Por ejemplo  y por eso no es una función par.