PROBABILIDAD

                                                     PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

                           Tipos de sucesos

• Exhaustivo: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.

Simbólicamente: p (A o B o...) = 1

• No exhaustivos: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si no cubren todos los posibles resultados.
• Mutuamente excluyentes: sucesos que no pueden ocurrir en forma simultánea:

P(A y B) = 0 y p(A o B) = p(A) + p (B)

Ejemplo: hombres, mujeres

• No mutuamente excluyentes: sucesos que pueden ocurrir en forma simultánea:

P (A o B) = p (A) + p (B) ? p (A y B)

Ejemplo: hombres, ojos cafés

• Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro :

P ( AI B ) = P ( A ); P ( BIA ) = P (B) Y P (A Y B) = P(A) P(B)

Ejemplo: sexo y color de ojos

• Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia o no ocurrencia del otro:

P ( AI B ) difiere de p (A); P ( BIA ) difiere de P(B);

Y P (A Y B)= P ( A ) P ( BIA )= P (B) P ( AI B )

Ejemplo: raza y color de ojos

Distribución maestral

El diagrama de árbol es muy útil para visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.

EJEMPLO: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información.

         CALCULO DE PROBABILIDADES CON TÉCNICAS                                             DE CONTEO

En la sección anterior se estudiaron las distintas maneras como se puede llevar a cabo un conteo para atender los propósitos de una situación determinada y como es posible mediante este conteo resolver algunos problemas de probabilidad. Ahora se tiene como finalidad revisar las reglas de probabilidades y los procedimientos mediante los cuales se aplican estas reglas. 

Definición: La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos o probabilidades de todos los puntos muestrales de A. Por lo tanto, 0 ≤ P(A) ≤ 1; P (ø ) = 0 y P(s) =

 1 Ejemplo:

 Una moneda se lanza dos veces. Cual es la probabilidad de caiga cuando menos una vez cara? S = {CC, CS, SC, SS} A: es el evento que salga cara al menos una vez, o sea A = {CC, CS, SC} como el espacio muestral tiene 4 puntos muestrales, entonces cada uno de ellos tiene una probabilidad de ¼ ; por lo tanto, la probabilidad de A es ¼ + ¼ ¼ = ¾ 

Teorema 1. Si un experimento puede tener cualquiera de N resultados diferentes igualmente factibles, y si exactamente n de estos resultados corresponde al evento A, entonces la probabilidad de A es: P(A) = n / N Ejemplo: Un mezcla de dulces contiene 6 bombones, 4 bananas y 3 chocolatines. Si se selecciona al azar uno de estos dulces, encuentre la probabilidad de obtener: a) un bombón, o b) una banana o un chocolatín. Sean A, B, y C los eventos en que se selecciona un bombón, una banana o un chocolatín, respectivamente. El número total de dulces es 13, todos con la misma probabilidad de ser escogidos. a) Dado que 6 de los 13 son bombones, entonces P(A) = 6/13 b) Dado que 7 de los 13 dulces son bananas o chocolatines, se tiene que: P(BUC) = 7/13 .

Frecuencia relativa

La definición moderna de probabilidad basada en la axiomática de Kolmogorov (presentada anteriormente) es relativamente reciente. Históricamente hubo otros intentos previos de definir el escurridizo concepto de probabilidad, descartados por diferentes razones. Sin embargo conviene destacar aquí algunas ideas que aparecen en la antigua definición basada en la frecuencia relativa, ya que permiten intuir algunas profundas propiedades de la probabilidad. Recordemos antes que si en un experimento que se ha repetido n veces un determinado suceso A se ha observado en k de estas repeticiones, la frecuencia relativa fr del suceso A es: fr = k/n El interés por la frecuencia relativa y su relación con el concepto de probabilidad aparece a lo largo de los siglos XVIII a XX al observar el comportamiento de numerosas repeticiones de experimentos reales. A título de ejemplo de un experimento de este tipo, supongamos que se dispone de una moneda ideal perfectamente equilibrada. Aplicando directamente la regla de Laplace resulta claro que el suceso A = obtener cara tiene probabilidad: p(A) = 1/2 = 0,5 En el cuadro siguiente se simula por ordenador el comportamiento de la frecuencia relativa del suceso A = obtener cara. El cuadro inicia la simulación con el lanzamiento consecutivo de la moneda veinte veces, calculando la frecuencia relativa de cara y comparándolo con la p(A) = 0.5. Aunque no es imposible que coincidan, la mayoría de veces fr será diferente. El lector puede manipular el cuadro para observar qué ocurre con rachas entre n = 1 y n = 1000 lanzamientos.