BLOG DE MATEMATICA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.

Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa incognita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas facil, ¿no?).

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

 15x - 9y = 1

 -15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación $11y = 11$

$y = 1$

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la $x$ desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sutituyendo $y$ por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

$5x - 3 = 2$

que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es $x = 1$ .

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{l} a = b \\ a = c \item \end{array} \right.$

donde $a$ , $b$ , y $c$ representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

$b = c$

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en $a$ ni en $b$ , entonces la ecuación

$b = c$

no contendría dicha incognita.

Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos $x$ .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye $x$ por su solución en otras ecuaciones dode aparezca $x$ para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 2x - 3y = -1 \\ 2x + 4y = 6 </pre> \end{array} \right.$

es equivalente a este otro

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 2x = -1 + 3y \\ 2x = 6 -4y </pre> \end{array} \right.$

El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en $y$ del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.