INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
En el tutorial de Inecuaciones Lineales vimos
que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax
+ b > 0 En esta sección vamos a ver que la solución de la
ecuación ∣ x ∣ = a determina la frontera entre ∣ x ∣ < a y∣ x ∣ > a Donde x es
una variable o una expresión algebraica y a un número real
positivo.
El mismo concepto se aplica si se tiene ≤ en lugar del signo < y ≥ en lugar del signo >.
Para encontrar los valores de frontera, debemos recordar que por definición de valor absoluto, si ∣ x ∣ = a, entonces x = a o x = - a .
El mismo concepto se aplica si se tiene ≤ en lugar del signo < y ≥ en lugar del signo >.
Para encontrar los valores de frontera, debemos recordar que por definición de valor absoluto, si ∣ x ∣ = a, entonces x = a o x = - a .
Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:
1.
Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
2.
Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que
resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La
solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta
numérica.
3.
Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo
en cada intervalo.
4.
La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad
sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
o
Como intervalo
o
Como conjunto
o
Gráficamente
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6
Solución:
Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6
Solución:
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Paso 1: Aislar la expresión con
valor absoluto a un lado de la inecuación.
En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación. |
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Paso 2: Hallar los intervalos de
prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo
de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación
determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:
∣ x - 20 ∣ = 6
Aplicando
la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
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x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14
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x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26
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Paso 3: Seleccionar un punto de
prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
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Paso 4: Determinar los intervalos que
forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos
que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el
lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple
con la desigualdad. En la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila
cumple con ser ≤ 6 .
La solución se puede expresar de distintas formas:
·
Expresando la solución como
conjunto:x 14 ≤ x ≤ 26
·
Expresando la solución como
intervalo[ 14 , 26 ]
·
Gráficamente
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