INECUACIONES CUADRATICAS

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Las  siguientes  expresiones  x² + 2x < 15   y   x²  ≥  2x + 3  representan inecuaciones  cuadráticas.    Una  inecuación  cuadrática  es   de   la  forma ax² + bx + c < 0 ( ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La  inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación.  De manera que, la forma estándar de las dos inecuaciones    anteriormente    mencionadas     sería:    x² + 2x – 15 < 0     y    x² – 2x – 3 ≥  0. 

Observa que una inecuación cuadrática siempre puede escribirse en forma estándar, sumando ( o restando) una expresión apropiada a ambos lados de la inecuación.

A continuación una guía para resolver inecuaciones cuadráticas:

1.                Escribe la inecuación en forma estándar.

2.                Resuelve la “ecuación asociada” que surge de la forma estándar.

3.                 Usa las raíces (soluciones) del paso #2 como puntos críticos.  Ordena las raíces en orden ascendente (de menor a mayor) en una recta numérica.  Las raíces dividirán la recta numérica en intervalos abiertos; el signo algebraico del polinomio no puede cambiar en ninguno de estos intervalos.

4.                 Prueba cada uno de los intervalos obtenidos en el paso #3, seleccionando un número en cada intervalo y sustituyéndolo en la variable de la inecuación.  El signo algebraico del valor obtenido es el signo del polinomio sobre el intervalo completo.

5.                 Escribe la solución en notación de intervalo y representa la solución en la recta numérica.

               Método para resolver inecuaciones cuadráticas

Para resolver una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de          desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

1.                Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación quede de la forma a x 2 + b x + c < 0

2.                Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

3.                Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

4.                Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

5.                La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:

o        Como intervalo

o        Como conjunto

o        Gráficamente

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Ejemplos

Ejemplo 1:
Resolver la siguiente inecuación x 2 + 4 x - 5 ≥ 0
Solución:

En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general.
Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática. x 2 + 4 x - 5 = ( x + 5 ) ( x - 1 )
Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
x + 5 = 0 x = - 5	x - 1 = 0 x = 1
Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general a x 2 + b x + c ≥ 0 .
Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo. Intervalo Punto de Prueba Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba. ( - ∞ , - 5 ) x = -6 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) - 5 = 7 ( - 5 , 1 ) x = 0 ( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) - 5 = - 5 ( 1 , ∞ ) x = 2 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 5 = 7
Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 0 . La solución se puede expresar de distintas formas: ·                     Expresando la solución como conjunto: x x ≤ -5 ó x ≥ 1 ·                     Expresando la solución como intervalo( - ∞ , - 5 ] ∪ [ 1 , ∞ ) ·                     Gráficamente

                          INECUACIONES RACIONALES

Definición:

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2Es uno de los que trae más complicaciones, porque una inecuación racional es una expresión de tipo fracción, donde la variable está en el numerador y el denominador.

EJEMPLO:

                         

            x − 2 = 0      x = 2

            x − 4 = 0      x = 4