PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Es ahora, al referirnos al producto vectorial,  cuando al signo de multiplicar lo representamos con el aspa o cruz de ahí que también llamemos producto cruz.
 El producto vectorial de dos vectores produce un vector  perpendicular  a los dos vectores.

En la siguiente figura, el producto vectorial de los dos vectores situados en el plano:  y  es un nuevo vector .

Este vector   o  tienes las siguientes características:

Características del vector 

Todo vector tiene sus propias particularidades como son: sumódulo, su dirección y su sentido.
Vamos a estudiar el valor del módulo del vector , su dirección y sentido.
Módulo:
En la figura siguiente tenemos un plano donde hemos dibujado  los vectores  y  : 

El  será igual al cateto opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa:
Podemos escribir también:

de donde vemos que : 
Si multiplicamos a los dos miembros de la igualdad por el módulo de  tenemos:
El producto 
equivale a la superficie del paralelogramo OABC:


La base es  y la altura 
También podemos expresar la superficie del paralelogramo OABC con el producto:
Como hemos dicho que a   equivale a:
Según vemos en la línea anterior, el módulo del producto vectorial equivale al área del paralelogramo que está definido por los dos vectores.

             Ángulo que forman dos vectores 

1 Enunciado

Calcula el angulo que forman los vectores \vec{a} = 2\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath} - \vec{k} y \vec{b} = -\vec{\imath} + \vec{\jmath} +2\, \vec{k}. Calcula también los cosenos directores de ambos vectores.

2 Solución

El producto escalar de dos vectores es
\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\theta
siendo θ el ángulo que forman los vectores. Es decir
\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}
Como están expresados en una base cartesiana es fácil hacer estas operaciones. El producto escalar es
\vec{a}\cdot\vec{b} = -2 + 3 -2 = -1
Los módulos de los vectores son
\begin{array}{l} |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}} = \sqrt{ 4+9+1} = \sqrt{14}\\ \\ |\vec{b}| = \sqrt{\vec{b}\cdot\vec{b}} = \sqrt{ 1+1+4} = \sqrt{6} \end{array}
El coseno del ángulo es
\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = -0.109
El ángulo es
\theta = 1.68\,\mathrm{rad} = 96.3\,\mathrm{^{\circ}}
Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ejes coordenados. Para el vector \vec{a}  tenemos
\begin{array}{l} \cos\alpha_x = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{a}|\,|\vec{\imath}|} = \dfrac{a_x}{|\vec{a}|} = 0.535\\ \\ \cos\alpha_y = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{a}|\,|\vec{\jmath}|} = \dfrac{a_y}{|\vec{a}|} = 0.802\\ \\ \cos\alpha_z = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{k}}{|\vec{a}|\,|\vec{k}|} = \dfrac{a_z}{|\vec{a}|} = -0.267 \end{array}
Puede comprobarse que cos2αx + cos2αy + cos2αz = 1.00
Para el vector \vec{b}  tenemos
\begin{array}{l} \cos\beta_x = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{b}|\,|\vec{\imath}|} = \dfrac{b_x}{|\vec{b}|} = -0.408\\ \\ \cos\beta_y = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{b}|\,|\vec{\jmath}|} = \dfrac{b_y}{|\vec{b}|} = 0.408\\ \\ \cos\beta_z = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{k}}{|\vec{b}|\,|\vec{k}|} = \dfrac{b_z}{|\vec{b}|} = 0.816 \end{array}
EJEMPLO:

                                  

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