VECTORES EN R2

Un  vector  en  el  plano,  se  denota  por  un  par  ordenado  de  números  reales  y  la  notación 

x, y  se emplea en lugar de  ( x, y) para evitar la confusión  entre vector y punto. V2 es el 

conjunto de todos los pares ordenados (x, y). 

Un vector en el plano es un par ordenado de números reales x, y , Los números x y y son las

 componentes del vector x,y . 

Sea  el  vector  A  el  par  ordenado  de  números  reales  a1, a2   Si  A  es  el  punto  (a1, a2 ) ,

 entonces  el  vector  A puede  representarse  geométricamente  por  el  segmento  dirigido 

 OA este segmento dirigido es una representación del vector A.

La  representación  particular  de  un  vector  con  su  punto  inicial  en  el  origen  se  denomina

 representación de posición del vector. 

El  vector  0, 0 ,  se  denomina  vector  cero  y  se  denota  por  0;  esto  es,  0 = 0, 0 cualquier 

punto es una representación del vector cero. 

El  módulo  de  un  vector  A,  denotado  por  A ,  es  la  longitud  de  cualquiera  de  sus 

representaciones,  y  la  dirección  de  un  vector  diferente  del  vector  cero  es  la  dirección  de 

cualquiera de sus representaciones. 

Si A es el vector  a1, a2 , entonces  A = a12 + a2 2 

El  ángulo  director  de  cualquier  vector  diferente  del  vector  cero  es  el  ángulo  θ  medido 

desde  la  parte  positiva  del  eje  x  en  el  sentido  contrario  al  giro  de  las  manecillas  

del  reloj hasta la representación de posición del vector. 

              DEFINICIÓN DE LA SUMA DE VECTORES 

La suma  de  los  vectores A = a1, a2 y B = b1, b2   es  el  vector  A  +  B  definido  por: A + B = a1 + b1, a2 + b2  DEFINICIÓN DEL NEGATIVO DE UN VECTOR: Si A = a1, a2 , entonces el negativo de A, denotado por ‐A, es el vector − A =  −a1, −a2 .     DEFINICIÓN DEL PRODUCTO DE UN VECTOR Y UN ESCALAR.  Si c es un escalar y A es el vector A = a1, a2 , entonces el producto de c y A,  denotado por  cA, es el vector definido por:  cA = c a1, a2 ⇒ cA = ca1, ca2 PROPIEDADES: Si  A,  B  y  C  son  tres  vectores  cualesquiera  de  V2,  y  c   y  d  son  dos   escalares  cualesquiera, entonces la  adición vectorial  y  la  multiplicación  por   un  escalar   satisfacen  las  siguientes propiedades:  1) A + B = B + A (ley conmutativa)  2) A + (B + C) = (A + B) + C (ley asociativa)  3) Existe un vector O en V2 para el cual A + O = A (existencia del idéntico aditivo)  4) Existe  un  vector  ‐A  en  V2  tal  que  A  +  (‐A)  =  O(existencia  del  inverso  aditivo  o negativo)  5) (cd)A = c(dA) (ley asociativa)  6) c(A+ B) = cA + cB (ley distributiva)  7) (c + d)A = cA + dA (ley distributiva)  8) 1 (A) = A (existencia del idéntico multiplicativo escalar)                    Vectores en R2 en el plano cartesiano Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano  de ejes X e Y. Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que  determina su sentido en el plano. Un vector fijo  es un segmento orientado que va del punto A (origen) al  punto B (extremo). Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.  Módulo del vector  Es la longitud del segmento AB, se representa por . Dirección del vector  Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta  paralela a ella. Sentido del vector  El que va del origen A al extremo B.                     Producto Vector y Escalar      Se llama producto de un vector V por un número k, al vector que tiene ·                     La misma dirección del vector V. ·                     La magnitud es igual al producto de k por la magnitud del vector V. ·                     El sentido depende del signo de k o                  Si k es positivo tiene el mismo sentido que el vector V. o                  Si k es negativo tiene el sentido opuesto del vector V.       Propiedades de los Vectores      Como toda operación, la suma de vectores tiene unas propiedades que facilitan   su realización. Estas son la propiedad conmutativa, propiedad asociativa, la propiedad  distributiva y el inverso aditivo.      La propiedad conmutativa es la propiedad donde el orden de los sumando no altera  la suma.  Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A.     La propiedad asociativa es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no  altera la  resultante (la suma). Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C).      La propiedad distributiva es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma. Sean  A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB.     La propiedad del inverso aditivo es la propiedad donde la suma de un vector y su vector  opuesto es cero. Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0.                                             Vector Estándar     Aquel vector que tiene su punto inicial en el origen de un sistema de coordenadas  es un vector estándar. El vector estándar de un vector V con punto inicial en (x1, y1) y  punto extremo en (x2, y2) esta dado por:  V=<x2-x1, y2 - y1>       V=<x,y>      La magnitud o longitud de un vector estándar V es:   ‖V‖=√(x2+y2)                                                Vectores Unitarios     Si V es un vector en el plano diferente de cero entonces, el vector unitario en la dirección de V es U. Estos vectores unitarios se utilizan para representar la dirección de otros vectores en términos de sus componentes.               La magnitud del vector V es diferente de una unidad.      La magnitud del vector U es igual a una unidad.      La dirección de los vectores V y U es la misma.